Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

三维声波方程的推导

[公式] 为密度, [公式] 为速度场, [公式] 为压力,那连续性方程式给我们
[公式]
流体力学里的欧拉方程也给我们
[公式]
我们以 [公式] 为震动中的流体震动中的平均密度及压力,并设
[公式]
在一般的气体里, [公式][公式] 代表小于至可忽略),则在 [公式] , 里的
[公式]
代到 [公式] , 得以
[公式]
[公式] 为波的振幅, [公式] 为波长,由于 [公式] ,一个气体粒子震不了多远,就得弹回去,则 [公式] .

以下我们用 [公式] 表示同数量级。我们可以粗估
[公式]
从而得到

[公式]
并由
[公式]
得以
[公式]
从而可被简化为
[公式]
由于是绝热过程,压力和密度正对比,则
[公式]
结合 [公式] 可得以声波方程
[公式]
其中有拉普拉斯算子,

[公式]

我们可以设
[公式]

[公式] 为速度势。速势也满足
[公式]

我们可以从得出
[公式]
这个偏微分方程写以球坐标系为
[公式]
当声音来自一个源点以球的形式外扩,由于对称我们可以忽略性对于 [公式] 的导数,将以上的公式简化到
[公式]
之后有空,我会写写如何用这个偏微分方程的解得以声波强度的公式。

以上内容参考了kpfu.ru/docs/F150150801 ,当时好奇声波强度怎么推导,为什么相对于源点距离有反平方正比,以及其与压力的细致的量化关系,英语用必应查没得到满意的结果。看的大多都是那个一维的推导,那个看了也感觉明白但也觉得很模糊,无法很好与现实相连,由于一维的那个的”为简化而伪造性质较强。相反这个三十多页的俄文声学讲义,讲的深细透,来自喀山大学,那还是列宁(以及几位有名科学家)的母校。中国人多学学俄语吧!

Tags: 声学, 流体力学, 物理/физика, 经典力学
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