Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

磁矢势以及经典规范场理论

中国人愿意以杨振宁为自豪,有些人虽然不懂物理,但或许也知道他 54 年跟 Mills 做的杨-米尔斯理论比他跟李政道得诺贝尔奖的工作还要划时代。甚至有些这些人能把杨-米尔斯与“规范场”这个词相连。规范场论翻译成英语是 gauge theory,俄语我也查了查,为 калибровочная теория,其中的 калибровочная 同于英语的 calibrated (-ая 结尾代表是阴性,俄语的形容词有阳中阴复,英语没有根据名字性的变为)。我问自己为什么把它叫 gauge,gauge 是测量仪器的意思,也可以用为动词,calibrate 也意思是标定,其跟 gauge 虽不完全意思但明显是紧密相连的。了解 gauge theory 是什么就会认识到 calibrate 的这个词用于形容该理论更恰当,只不过 "calibrated theory",英语听起来太粗俗。中文的“规范”更接近于 calibrated,看似中文和俄文思维还是更接近,与中文根英文相比。简而言之,在规范场理论中,一个量,如磁矢势,可以就多个不同的表示,可以把一个具体量的不同表示的集合视为一个同等类,数学解构是个李(Lie)群。但由于我的重点现在在于物理而不是我的正式大学专业数学,数学那面我就不会讲的多么严谨细致。在这个同等类,我们以一个公式条件的符合设定一个规范表示,细节如下。

高斯磁定律为

[公式]
通过向量微积分等式任意 [公式] 都满足

[公式]
则我们假设存在磁矢,其量定义以满足

[公式]

对应于静电的高斯定律为

[公式]

在静电情况下存在一个电势满足

[公式]

法拉第电磁感应定律为

[公式]

则我们可以把电场的有旋度的部分表示为 [公式] ,与散度部分合起来得以

[公式]

不难发觉到如果 [公式] ,那 [公式] 同样也能是该磁场的磁矢势(因为函数的梯度的散度必须是零),而我们需要找到一个“规范”的。我们欲求一个对应于 [公式][公式] 是的电场为不变量,公式为

[公式]

解该方程得以

[公式]

我们把 [公式] 的以 [公式] 的表示代进高斯定律和安培定律(四个麦克斯韦方程的两个)。高斯定律的为

[公式]

安培定律为

[公式]

代进

[公式]

得以

[公式]

这个与向量微积分等式

[公式]

相结合得以

[公式]

[公式]有规范自由(gauge freedom),可以做规范变换

[公式]

那能不能通过做适当的规范变换,把 [公式] 里的

[公式]

消掉,大大简化 [公式] 呢?我们求所欲的变换,更具体一点就是求使得简化可通的规范函数 [公式] 。把 [公式] 代进 [公式] 强制等于零

[公式]

这个偏微分方程有解,任意其解都能满足规范条件。规范的磁矢势和电势分别为 [公式] 。则我们可以不失一般性地假设 [公式] 是规范的,那就是其满足洛伦茨规范 (Lorenz gauge condition)(注意这个 Lorenz 跟 Lorentz 变换的 Lorentz 不一样),为

[公式]

简化 [公式] 得以

[公式]

之后我们可以用洛伦茨规范条件推导出一个运动点电荷根据位置,时间和速度的规范磁矢势和电标势,这些势量叫做 Liénard–Wiechert potential(勒纳德-威谢尔势),从它与 Umov-Poynting 矢量 相结合又可以推导出运动点电荷的辐射功率的 Larmor formula,这些就留到以后了。

Tags: 物理/физика, 物理学家/физики, 电磁学
Subscribe

Posts from This Journal “电磁学” Tag

  • 我的关于物理学的写作(My writings about physics)

    来自黄克孙的统计力学教科书 (From Kerson Huang's statistical mechanics textbook) 卡诺热机的热力学 (Thermodynamics of Carnot engine) 热容,定压热容,定容热容,比热容 (Heat…

  • Umov-Poynting 向量的推导

    我们可以分别用电容器和螺线管推导出电磁场能量密度,其为 则在一个闭曲面里存储电磁势能,其为 这个势能可以传到闭曲面之外,我们好奇这个势能传输率,如何表示它。在曲面上任何何微面积,都存在单元面积的功率或能量传输率,这个量由于出于电磁场,我们要以…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

  • 0 comments