磁矢势以及经典规范场理论: gmachine1729

中国人愿意以杨振宁为自豪，有些人虽然不懂物理，但或许也知道他 54 年跟 Mills 做的杨-米尔斯理论比他跟李政道得诺贝尔奖的工作还要划时代。甚至有些这些人能把杨-米尔斯与“规范场”这个词相连。规范场论翻译成英语是 gauge theory，俄语我也查了查，为 калибровочная теория，其中的 калибровочная 同于英语的 calibrated （-ая 结尾代表是阴性，俄语的形容词有阳中阴复，英语没有根据名字性的变为）。我问自己为什么把它叫 gauge，gauge 是测量仪器的意思，也可以用为动词，calibrate 也意思是标定，其跟 gauge 虽不完全意思但明显是紧密相连的。了解 gauge theory 是什么就会认识到 calibrate 的这个词用于形容该理论更恰当，只不过 "calibrated theory"，英语听起来太粗俗。中文的“规范”更接近于 calibrated，看似中文和俄文思维还是更接近，与中文根英文相比。简而言之，在规范场理论中，一个量，如磁矢势，可以就多个不同的表示，可以把一个具体量的不同表示的集合视为一个同等类，数学解构是个李(Lie)群。但由于我的重点现在在于物理而不是我的正式大学专业数学，数学那面我就不会讲的多么严谨细致。在这个同等类，我们以一个公式条件的符合设定一个规范表示，细节如下。

高斯磁定律为

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \\$
通过向量微积分等式任意 $\mathbf{A}$ 都满足

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0\\$
则我们假设存在磁矢，其量定义以满足

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\\$

对应于静电的高斯定律为

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\\$

在静电情况下存在一个电势满足

$\mathbf{E} = - \nabla \varphi\\$

法拉第电磁感应定律为

$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times \left(-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)\\$

则我们可以把电场的有旋度的部分表示为 $-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$ ，与散度部分合起来得以

$\mathbf{E} = - \nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\\$

不难发觉到如果 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ ，那 $\mathbf{A^{\prime}} = \mathbf{A} + \Lambda$ 同样也能是该磁场的磁矢势（因为函数的梯度的散度必须是零），而我们需要找到一个“规范”的。我们欲求一个对应于 $\mathbf{A^{\prime}}$ 的 $\varphi^{\prime}$ 是的电场为不变量，公式为

$\mathbf{E} = - \nabla \varphi^{\prime} - \frac{\partial \mathbf{A^{\prime}}}{\partial t}\\$

解该方程得以

$\varphi^{\prime} = \varphi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t}\\$

我们把 $\mathbf{E}, \mathbf{B}$ 的以 $\mathbf{A}, \varphi$ 的表示代进高斯定律和安培定律（四个麦克斯韦方程的两个）。高斯定律的为

$\begin{aligned}-\frac{\rho}{\epsilon} & = & -\nabla \cdot \mathbf{E} \\ & = & \nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \mathbf{A}) \end{aligned} \\$

安培定律为

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\\$

代进

$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -\nabla \frac{\partial \varphi}{\partial t} - \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}\\$

得以

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} - \mu_0\epsilon_0 \left(\nabla \frac{\partial \varphi}{\partial t} - \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}\right)\\$

这个与向量微积分等式

$\nabla \times \mathbf{B} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = -\nabla^2 \mathbf{A} + \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})\\$

相结合得以

$\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} - \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right) = \mu_0 \mathbf{J} \qquad (1)\\$

$\mathbf{A}, \varphi$ 有规范自由（gauge freedom)，可以做规范变换

$\begin{aligned} \mathbf{A} \mapsto \mathbf{A^{\prime}} = \mathbf{A} + \nabla \Lambda \\ \varphi \mapsto \varphi^{\prime} = \varphi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t} \end{aligned}\\$

那能不能通过做适当的规范变换，把 $(1)$ 里的

$\nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \qquad (2)\\$

消掉，大大简化 $(1)$ 呢？我们求所欲的变换，更具体一点就是求使得简化可通的规范函数 $\Lambda$ 。把 $\mathbf{A^{\prime}}, \varphi^{\prime}$ 代进 $(2)$ 强制等于零

$\nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla^2 \Lambda - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Lambda}{\partial t^2} = 0\\$

这个偏微分方程有解，任意其解都能满足规范条件。规范的磁矢势和电势分别为 $\mathbf{A^{\prime}}, \varphi^{\prime}$ 。则我们可以不失一般性地假设 $\mathbf{A}, \varphi$ 是规范的，那就是其满足洛伦茨规范 (Lorenz gauge condition)（注意这个 Lorenz 跟 Lorentz 变换的 Lorentz 不一样），为

$\nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0\\$

简化 $(1)$ 得以

$\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = \mu_0 \mathbf{J}\\$

之后我们可以用洛伦茨规范条件推导出一个运动点电荷根据位置，时间和速度的规范磁矢势和电标势，这些势量叫做 Liénard–Wiechert potential（勒纳德-威谢尔势），从它与 Umov-Poynting 矢量相结合又可以推导出运动点电荷的辐射功率的 Larmor formula，这些就留到以后了。

Post a new comment
Error

Anonymous comments are disabled in this journal
ramblerID

We will log you in after post

We will log you in after post

We will log you in after post

We will log you in after post

We will log you in after post

Anonymously

switch

ramblerID

LiveJournal

Facebook

Twitter

OpenId

Google

MailRu

VKontakte

Anonymously

default userpic

Your reply will be screened

Preview comment

Help
0 comments

Post a new comment
0 comments

Log in

磁矢势以及经典规范场理论

Posts from This Journal “电磁学” Tag

我的关于物理学的写作（My writings about physics)

Umov-Poynting 向量的推导

Error