Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

从狭义相对论的简单假定得到时空间隔不变量及洛伦兹变换

以前学过狭义相对论,但是感觉它的好多解释比较模糊,跟数学很不一样,对于物理那种模糊得到正确深入的认知毫无疑问是非常重要的能力。狭义相对论不是不可以以比较数学严谨的方式讲述,只不过一般的网上的资料没有那么做。我们就先从它的两个假定开始吧。

  1. 第一假定(相对原理):惯性参考系之间的变换基本物理定律形式不变,我不详解的,建议读者仔细想想这到底意味着什么,别理解错
  2. 第二假定(光速量为不变量):存在 [公式] 满足以下的条件。若 A, B 为俩事件,在惯性参考系 [公式] 坐标分别为 [公式][公式] ,在另一个惯性参考系 [公式] 坐标分别为 [公式][公式] ,则 [公式] 当且仅当 [公式]

第二个假定里的逻辑同等是以最直接的形式所表示的,简而言之光在真空从一个点到另一个点,空间位移在任意惯性参考系都等于光速乘上时间差,每个惯性参考系都有自己的时间和空间坐标。其公式可被重写为

[公式]

则当俩事件可代表光在真空从一个点到另一个点,[公式] 的值在任何参考系里都是零。那会不会是两个事件无论如何该值都是不变量呢?我们定

[公式] ,并叫它,时间隔,我们也把第二假定里的那种间隔叫做类光间隔。由于类光间隔的空时间隔在任何惯性参考系都等于零,我们可以正比的形式表示俩不同惯性参考系的类光间隔微分,即 [公式] 。当然,目前这个 [公式] 可能是因变量而非常数。

在狭义相对论里,我们也假设时空均匀性和空间各向同性。这些就不详细解释了,但读者也应当思考确认自己没有理解错。反正可以说,学过线性代数的都知道线性变换和矩阵严格不是一样的,由于线性变换是抽象的,而矩阵基于基向量的表示而已。其实,时空均匀性近用线性变换表示还不够,应该还需要仿射变换,由于均匀性对应的是平移。物理上,这相当于把空间左边平移以下,把表往前或往后调,在这种情况下都不会影响间隔值。则 [公式] 不可能依赖于时空坐标。同样,我们可以以三维旋转基向量改变坐标,这也不会影响 [公式] ,这就对应于各向同性,这说明目前 [公式] 只能被参考系之间的速量差所影响。假设 [公式] 对应于参考系 [公式][公式] 分别对应于参考系 [公式] ,以及 [公式] ,则 [公式] 。如果以 [公式][公式] 之间的速量差,那 [公式][公式] ,则我们在 [公式] 的幂级数表示代近速度零的特例,迫使 [公式][公式] 时为常数,导致 [公式] 零级系数之外都等于零, 则[公式] 。由于

时空间隔微分是不变量,任何时空间隔都得是不变量。

现在我们利用是时空间隔为不变量推导洛伦兹变换。在我们的推导中,我们假设 [公式] ,也就是俩惯性参考系之间的速度差向量的 [公式] 坐标都是零。用这个简化版的洛伦兹变换得到后,要想得到对应于任何速度向量 [公式] 的洛伦兹变换,可以通过复合三个单维变化 [公式]

假设时空变换是个线性变换,表示以 [公式] ,也假设在惯性参考系 [公式] 里,惯性参考系 [公式] 的 ([公式] 坐标)速度是 [公式] 。那从 [公式] 的源点分别得以

[公式][公式] ,其中 [公式] 可为任何时间。

这俩矩阵等式与时空间隔不变量结合得以

[公式]

从第一个矩阵等式,我们也可直接得到

[公式]

以及

[公式]

[公式]

[公式] 代进 [公式] 得以

[公式]

由于 [公式] 无限制,以上等式两边的系数得同等,即

[公式]

这个和 [公式] 结合得以

[公式]

由于当 [公式] ,该变换必 [公式] ,则 [公式] 上面的 [公式] 一定是个 [公式] ,则

[公式]

从第二个矩阵等式,我们可以得到

[公式]

[公式] 里的 [公式] 的系数两边同等给我们

[公式]

从这个,我们计算出

[公式]

我们注意到 [公式] 所以常规以 [公式] 命名的伦兹因子在这里其实是 [公式] 。我们为了读者的方便做个适当的变量改名,以 [公式] 。从而

[公式]

成为

[公式]

Tags: 物理/физика, 狭义相对论
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