从狭义相对论的简单假定得到时空间隔不变量及洛伦兹变换: gmachine1729

以前学过狭义相对论，但是感觉它的好多解释比较模糊，跟数学很不一样，对于物理那种模糊得到正确深入的认知毫无疑问是非常重要的能力。狭义相对论不是不可以以比较数学严谨的方式讲述，只不过一般的网上的资料没有那么做。我们就先从它的两个假定开始吧。

第一假定（相对原理）：惯性参考系之间的变换基本物理定律形式不变，我不详解的，建议读者仔细想想这到底意味着什么，别理解错
第二假定（光速量为不变量）：存在 $0 < c < \infty$ 满足以下的条件。若 A, B 为俩事件，在惯性参考系 $F$ 坐标分别为 $(x_1, x_2, x_3, t)$ 和 $(y_1, y_2, y_3, s)$ ，在另一个惯性参考系 $F'$ 坐标分别为 $(x_1', x_2', x_3', t')$ 和 $(y_1', y_2', y_3', s')$ ，则 $\begin{equation} \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2} = c(s - t) \end{equation}$ 当且仅当 $\begin{equation} \sqrt{(x_1'-y_1')^2 + (x_2' - y_2')^2 + (x_3' - y_3')^2} = c(s' - t') \end{equation}$ 。

第二个假定里的逻辑同等是以最直接的形式所表示的，简而言之光在真空从一个点到另一个点，空间位移在任意惯性参考系都等于光速乘上时间差，每个惯性参考系都有自己的时间和空间坐标。其公式可被重写为

$c^2(s - t)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 = 0 \\$

则当俩事件可代表光在真空从一个点到另一个点， $c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2$ 的值在任何参考系里都是零。那会不会是两个事件无论如何该值都是不变量呢？我们定

$ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$ ，并叫它，时间隔，我们也把第二假定里的那种间隔叫做类光间隔。由于类光间隔的空时间隔在任何惯性参考系都等于零，我们可以正比的形式表示俩不同惯性参考系的类光间隔微分，即 $ds^2 = a ds'^2$ 。当然，目前这个 $a$ 可能是因变量而非常数。

在狭义相对论里，我们也假设时空均匀性和空间各向同性。这些就不详细解释了，但读者也应当思考确认自己没有理解错。反正可以说，学过线性代数的都知道线性变换和矩阵严格不是一样的，由于线性变换是抽象的，而矩阵基于基向量的表示而已。其实，时空均匀性近用线性变换表示还不够，应该还需要仿射变换，由于均匀性对应的是平移。物理上，这相当于把空间左边平移以下，把表往前或往后调，在这种情况下都不会影响间隔值。则 $a$ 不可能依赖于时空坐标。同样，我们可以以三维旋转基向量改变坐标，这也不会影响 $a$ ，这就对应于各向同性，这说明目前 $a$ 只能被参考系之间的速量差所影响。假设 $ds^2$ 对应于参考系 $K$ ， $ds_1^2, ds_2^2$ 分别对应于参考系 $K_1, K_2$ ，以及 $ds^2 = a(V_1) ds_1^2, ds^2 = a(V_2) ds_2^2$ ，则 $ds_1^2 = \frac{a(V_2)}{a(V_1)}ds_2^2$ 。如果以 $V_{12}$ 为 $K_1, K_2$ 之间的速量差，那 $ds_1^2 = a(V_{12})ds_2^2$ ， $\min(0, V_1 - V_2) \leq V_{12} \leq V_1 + V_2$ ，则我们在 $a$ 的幂级数表示代近速度零的特例，迫使 $\frac{a(V_2)}{a(V_1)}$ 在 $V_1 \leq V_2$ 时为常数，导致 $a$ 零级系数之外都等于零，则 $\frac{a(V_2)}{a(V_1)} = a(V_{12}) = 1$ 。由于

时空间隔微分是不变量，任何时空间隔都得是不变量。

现在我们利用是时空间隔为不变量推导洛伦兹变换。在我们的推导中，我们假设 $y' = y, z' = z$ ，也就是俩惯性参考系之间的速度差向量的 $y, z$ 坐标都是零。用这个简化版的洛伦兹变换得到后，要想得到对应于任何速度向量 $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ 的洛伦兹变换，可以通过复合三个单维变化 $L_{\mathbf{v}} = L_{v_z} L_{v_y} L_{v_x}$ 。

假设时空变换是个线性变换，表示以 $\begin{pmatrix} t' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix}$ ，也假设在惯性参考系 $K_1$ 里，惯性参考系 $K_2$ 的（ $x$ 坐标）速度是 $v$ 。那从 $K_1, K_2$ 的源点分别得以

$\begin{pmatrix} t_1' \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\ vt_1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} t_2' \\ -vt_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_2 \\ 0 \end{pmatrix}$ ，其中 $t_1, t_2$ 可为任何时间。

这俩矩阵等式与时空间隔不变量结合得以

$c^2(t_2' - t_1')^2 - v^2t_2'^2 = c^2(t_2 - t_1)^2 - v^2t_1^2 \qquad (1)。 \\$

从第一个矩阵等式，我们也可直接得到

$t_1' = (\alpha + \beta v)t_1 \qquad (2) \\$

以及

$t_2 = -\frac{\gamma t_2}{v} \qquad (3) \\$

和

$\gamma + \delta v = 0 \\ \Rightarrow \delta = -\gamma / v \qquad (4)。$

$(2), (3), (4)$ 代进 $(1)$ 得以

$c^2((\alpha + \beta v)t_1 + \frac{\gamma}{v}t_2)^2 - \gamma^2t^2 = (c^2 - v^2)t_1^2 + c^2t_2^2 - 2c^2t_1t_2\qquad (5)。 \\$

由于 $t_1, t_2$ 无限制，以上等式两边的系数得同等，即

$c^2\frac{\gamma^2}{v^2} - \gamma^2 = c^2 \\ \Rightarrow \gamma^2 = \frac{c^2}{\frac{c^2}{v^2} - 1} \\ \Rightarrow \gamma = \pm \frac{cv}{\sqrt{c^2 - v^2}}。\\$

这个和 $(4)$ 结合得以

$\delta = \pm \frac{c}{c^2 - v^2}。 \\$

由于当 $v \to 0$ ，该变换必 $\to \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ ，则 $\delta$ 上面的 $\pm$ 一定是个 $+$ ，则

$\gamma = -\frac{cv}{c^2 - v^2} \qquad (6) \\ \delta = \frac{c}{c^2 - v^2} \qquad (7)。 \\$

从第二个矩阵等式，我们可以得到

$t_2' = \alpha t_2 \\ -vt_2' = \gamma t_2 \\ \Downarrow \\ \alpha = -\frac{\gamma}{v} = \frac{v}{\sqrt{c^2 - v^2}} \qquad (8)。$

$(5)$ 里的 $t_1t_2$ 的系数两边同等给我们

$2c^2(\alpha + \beta v)\frac{\gamma}{v} = -2c^2 \\ \Rightarrow (\alpha + \beta v) \frac{\gamma}{v} = -1 \qquad (9)。$

从这个，我们计算出

$\begin{eqnarray} -1 & = & (\beta v - \frac{\gamma}{v})\frac{\gamma}{v} \\ & = & \frac{1}{v}\left(-\beta v \frac{cv}{\sqrt{c^2 - v^2}} - \frac{c^2v^2}{v(c^2 - v^2)}\right)\\ & & \Downarrow &　\\ \beta & = & \frac{v - \frac{c^2v}{c^2 - v^2}}{\frac{v^2c}{\sqrt{c^2 - v^2}}} \\ & = & \frac{v^3}{c^2 - v^2} \cdot \frac{\sqrt{c^2 - v^2}}{v^2c} \\ & = & \frac{v}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{v\gamma}{c^2} \qquad (11)。 \end{eqnarray} \\$

我们注意到 $\alpha = \delta = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}。$ 所以常规以 $\gamma$ 命名的伦兹因子在这里其实是 $\alpha = \delta$ 。我们为了读者的方便做个适当的变量改名，以 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 。从而

$\begin{pmatrix} t' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix} \\$

成为

$\begin{pmatrix} t' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\frac{v\gamma}{c^2} \\ -v\gamma & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix}。 \\$

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