从狭义相对论的简单假定得到时空间隔不变量及洛伦兹变换

以前学过狭义相对论，但是感觉它的好多解释比较模糊，跟数学很不一样，对于物理那种模糊得到正确深入的认知毫无疑问是非常重要的能力。狭义相对论不是不可以以比较数学严谨的方式讲述，只不过一般的网上的资料没有那么做。我们就先从它的两个假定开始吧。

1. 第一假定（相对原理）：惯性参考系之间的变换基本物理定律形式不变，我不详解的，建议读者仔细想想这到底意味着什么，别理解错
2. 第二假定（光速量为不变量）：存在 满足以下的条件。若 A, B 为俩事件，在惯性参考系 坐标分别为 和 ，在另一个惯性参考系 坐标分别为 和 ，则 当且仅当 。

第二个假定里的逻辑同等是以最直接的形式所表示的，简而言之光在真空从一个点到另一个点，空间位移在任意惯性参考系都等于光速乘上时间差，每个惯性参考系都有自己的时间和空间坐标。其公式可被重写为

则当俩事件可代表光在真空从一个点到另一个点， 的值在任何参考系里都是零。那会不会是两个事件无论如何该值都是不变量呢？我们定

，并叫它，时间隔，我们也把第二假定里的那种间隔叫做类光间隔。由于类光间隔的空时间隔在任何惯性参考系都等于零，我们可以正比的形式表示俩不同惯性参考系的类光间隔微分，即 。当然，目前这个 可能是因变量而非常数。

在狭义相对论里，我们也假设时空均匀性和空间各向同性。这些就不详细解释了，但读者也应当思考确认自己没有理解错。反正可以说，学过线性代数的都知道线性变换和矩阵严格不是一样的，由于线性变换是抽象的，而矩阵基于基向量的表示而已。其实，时空均匀性近用线性变换表示还不够，应该还需要仿射变换，由于均匀性对应的是平移。物理上，这相当于把空间左边平移以下，把表往前或往后调，在这种情况下都不会影响间隔值。则 不可能依赖于时空坐标。同样，我们可以以三维旋转基向量改变坐标，这也不会影响 ，这就对应于各向同性，这说明目前 只能被参考系之间的速量差所影响。假设 对应于参考系 ， 分别对应于参考系 ，以及 ，则 。如果以 为 之间的速量差，那 ， ，则我们在 的幂级数表示代近速度零的特例，迫使 在 时为常数，导致 零级系数之外都等于零， 则 。由于

时空间隔微分是不变量，任何时空间隔都得是不变量。

现在我们利用是时空间隔为不变量推导洛伦兹变换。在我们的推导中，我们假设 ，也就是俩惯性参考系之间的速度差向量的 坐标都是零。用这个简化版的洛伦兹变换得到后，要想得到对应于任何速度向量 的洛伦兹变换，可以通过复合三个单维变化 。

假设时空变换是个线性变换，表示以 ，也假设在惯性参考系 里，惯性参考系 的 （ 坐标）速度是 。那从 的源点分别得以

和 ，其中 可为任何时间。

这俩矩阵等式与时空间隔不变量结合得以

从第一个矩阵等式，我们也可直接得到

以及

和

代进 得以

由于 无限制，以上等式两边的系数得同等，即

这个和 结合得以

由于当 ，该变换必 ，则 上面的 一定是个 ，则

从第二个矩阵等式，我们可以得到

里的 的系数两边同等给我们

从这个，我们计算出

我们注意到 所以常规以 命名的伦兹因子在这里其实是 。我们为了读者的方便做个适当的变量改名，以 。从而

成为