Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

如何推导出相对质量及 E = mc^2

今天,我试了推导相对力。我们假设有两个惯性参考系,有个质量 [公式],在 [公式] 时,坐标为 [公式] ,在 [公式] 的参考系里速度也是 [公式] 。 在 [公式] 的参考系里,[公式] 的参考系的相对速度是个负的,向左的 [公式] (我们之后把这个 [公式] 当做正数,则实际相对速度是 [公式] )。质量 [公式][公式] 有个加速度 [公式] 。则当 [公式] 很小时

[公式]

洛伦兹变换为(想知道怎么推导它,可以参考 gmachine1729:从狭义相对论的简单假定得到时空间隔不变量及洛伦兹变换

[公式]

将这些代进 [公式] 得以

[公式]

[公式] 得以

[公式]

通过 [公式] 很容易看到当 [公式]

[公式]

同样也可以把 [公式] 视为 [公式] ,则

[公式]

由于在 [公式] 时, [公式][公式]

其中 [公式] 为质量在 [公式] 参考系的速度。如果 [公式] 为另一个参考系的速度,我们从 [公式] 可得以

[公式]

注意用 [公式] 简单计算的力的参考系会随着质量的速度而变,该计算的 [公式] 必须是在当时质量速度为零的参考系,或者在那瞬间与质量并行运动的参考系。则我们便于将那个用于简单计算力的“动态”参考系用 [公式] 来标,”固定“的参考系按这种做法会去掉 [公式] ,即

[公式]

因为有在固定参考系的加速度与随质量加速而变的参考系的加速度的关系,即 [公式] ,我们可以以固定参考系的加速度和依赖于随着加速而变的 [公式][公式] 得以力的公式,即 [公式] 。由于一般洛伦兹因子的速度被写以 [公式] ,我们改成用 [公式]

我们猜测当时动量为

[公式]

不难观察到由于 [公式] 的定义,随着速度变大, [公式] 会变得无限大。 [公式] 更加会是这样。

作为验证,

[公式]

[公式] 一致。

用功能量定理,我们得以能量的变化为

[公式]

[公式]

的分部积分法会给我们

[公式]

从而得到静能量公式

[公式]

以及总能量公式

[公式]

也将 [公式] 定义为相对质量,从而俗人知的

[公式]

同样实现。

Tags: 物理/физика, 狭义相对论
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