Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

卡诺热机的热力学

我最近了解了一下解释黑体辐射谱的普朗克定律,为此读者可参考一所我读过的来自一所巴西学校的讲义。其推导我大多了解了,但也发现有几个地方我缺乏相关背景知识,则不知道为什么可以那么做,那么假设。那些都跟统计力学相关,统计力学我从未系统学过。不像电磁学,我至少还过了 Griffiths 那本书的一些,也做了它的一些习题。因为基础那么差,从网上零散学习效率或许难以太高,所以我就想到下载教科书。本来要下载朗道的,但又想到已离开我们的美国华人麻省理工学院教授黄克孙写了一本统计力学的教科书。我知道黄克孙在统计力学和波色爱因斯坦凝聚上做出了杰出的工作,不仅如此,他还为伊朗中世纪伟大科学家和诗人 Omar Khayyam 的鲁拜集做了中文的文学翻译,是个多才多艺的人。所以我上了俄罗斯的 libgenesis 下载了他的统计力学教科书,英文版。

我觉得热力学在很多方面其实比力学和电磁学要难。可能它表面显得很容易,很简单,就一[公式][公式] ,直接应用不就完了么?是的,或许从数学运算角度它相对容易,但在物理的理解上它绝对更难。尤其一旦涉及到了熵,焓等热力量之类,以及对于他们的变化的物理直觉。有好多不同类型的热力过程,如等温,绝热,等压,等容可能按照规律做计算不难,但深入理解互相之间的关系还是需要一些思考的。

热力学第二定律

在这篇文章里,我会过一下热力学的第二个定律以及其相关的具体例子。那第二个热力学定律是什么呢?它是在说有些涉及到热能的遵守能量守恒的过程不可能发生,比如一个石头在地上以失去一些热能上升到一定高度,将其热能转化成势能。以更形式化的语言,该定律有俩同等的表示或陈述方式,分别以英国物理学家开尔文 (Kelvin) 和德国物理学家克劳修斯的名字为名。

开尔文陈述。不存在任何将某热源的一些热能量完全转化成功为唯一效应的热力变换。

克劳修斯陈述。不存在任何热将更冷的热源的一些热能量转移到更热的热源为唯一效应的热力变换。

俩同等不难看到,假设前者不成立。那我们可以从后者里的更冷的热源抽出一些热能,将它变成功,在用那个功转到另一个热源里。对于这能如何具体实现,可参考以下的图。

焦耳用于测量功转成热能的实现,滑轮往下掉时,其势能被转成水的热能,温度计用以测量温度的提升程度,该值可用以计算或估计水的热能变化

不用说,提升滑轮的高度对应于对其质量做功。上面的水如果初始温度更高,那我们就导出了克劳修斯陈述的否定。

反方向,我们假设克劳修斯陈述的否定,从而推导出开尔文陈述的否定。思路为先从温度为 [公式] 的热源将量为 [公式] 热能转到温度为 [公式] 的热源, [公式] ,再把 [公式] 转回温度为 [公式] 的热源,在其过程中做一些功,这些俩的复合满足我们所想达到的情况。为了实现它,我们定义一个热机,该机是循环式的,即它的初始太跟终止状态是一致的。该热机的步骤为

  1. 从热源 [公式] 吸收能量 [公式]
  2. 拒绝其中的 [公式] ,将它传到热源 [公式]
  3. 做功 [公式]

卡诺热机

卡诺热机是个理想热机,它的关键点在于它是可逆的。

卡诺热机及其热力图

它的效率为 [公式] 就不用解释了。如果 [公式] ,那必然 [公式] 。如果 [公式] ,我们否定了开尔文陈述。如果 [公式] ,那我们能做 [公式] 的功,把它转成热内输送到 [公式] ,则违反克劳修斯陈述。 [公式] 就不用解释了。

把卡诺热机图箭头的方向反过来,得到一个“冰箱”,这是理想热机理想假设可以实现的,就是它的循环是可逆的。

卡诺定理。在俩固定温度,没有任何比卡诺热机效率更高的热机。

证明。操作一个卡诺热机 [公式] 以及任意热机 [公式] ,如以下图。

我们利用卡诺机的可逆。将 [公式] 操作 [公式] 个逆循环, [公式] 操作 [公式] 个正循环。我们得以

[公式]

[公式] 使得 [公式] 。不违反开尔文陈述必得 [公式] ,从而可以导出

[公式]

推论。从这个我们也可以得到在 [公式] 固定情况下,任意俩卡诺热机,效率是一样的。不那样以上的定理就被违反了。

温度绝对尺度

卡诺定理的推论意味着可以仅仅从俩温度得到一个效率。反过来,我们可以通过效率去定义温度绝对尺度,在 [公式] 为温度,设

[公式]

串联卡诺卡诺热机,其中每一个单热机的功都是一样的 W

我们用以上的图定义温度绝对尺度。用热力学第一定律以及假设的效率和温度的关系很容易得到

[公式]

[公式] 的情况下,我们设 [公式] 的温度差。

[公式] 的极限叫做绝对零,它理论都无法实现因为卡诺热机循环是得能逆反的,其必要从绝对零给更高的温度输热能,从而违反开尔文陈述。

同样假设 [公式] 。我们用理想气体构建一个卡诺热机。

ab, cd 等温,bc, da 绝热

从以上的图可以得到

[公式]

[公式]

[公式]

我们可以在卡诺热机里强制 [公式] ,当注意到 [公式] 。如果要构建串联,我们总可以也必得让串联里的每一个单热机的 bc, da 的路径都给以同样的功,值为 [公式] 。这样必要条件都满足,包括通过理想气体定律得到 [公式]

Tags: 物理/физика, 统计力学
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