Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

如何理解用于定义熵的克劳修斯定理

我一直认为经典力学和电动力学比热力学和狭义相对论容易得多,尤其对于一个数学好的人。因为前两者的物理相对比较直接大多与人通常的“肉体直觉“比较符合。相反呢,热力学和狭义相对论涉及到的物理难以直接观察到。相对论为什么这样就不用解释了。热力学呢,它其中的物理很难直接观察到,典型的例子就是压力。一个刚开始学物理的人很容易把压力这个东西看的一塌糊涂,我曾经也是这样。压力的概念非常抽象,把它正确的与物理现象相连是非常之难的。同样,对于温度,人都可以有个大概感觉,但真正深入准确地理解到底什么是温度还是花了物理学家不少功夫,其中也走过一些弯路,因为这种分子现象无法直接观察到。我记得高中时一旦得知伯努利原理感觉莫名其妙,心想,”流体速度更快不自然会压力更大么“?是,如果流体朝着一个方向留并接触到了一个固体。问题上,该原理指的压力是流体的内部压力,在内部如果处于平衡状态分子运动是各向同性的,所以这个压力没有方向。

热力学和相对论都有很多物理定义,难以用一干二净的数学语言所表示。要理解它们,最关键的是避免误解那些定义,它其实是个适应过程。需要适应它的真是物理意思,脱离人通常的”肉体直觉“。很多人,包括原来的我,老是学不懂这些物理是因为过于按照”一般直觉“而非正确的物理直觉去想,这么做只会导致思维一片混乱,误入歧途,其主要出于没有正确理解一些关键物理定义。不用说,把现象测量的具体,比如钟表时间和尺子,与抽象的物理规律,如洛伦兹变换正确联系是理解物理的关键,也可以说它也比物理中的数学要男得多,当然不同人感觉也会不一样。

热力学的一个重要定义是循环变换。什么是循环变换呢?就是一个循环过去,热力系统的初始态和终止态是一致的。以什么表示态呢?三个变量 [公式] 。我们也注意到这些变量不变意味着系统的内能 [公式] 也不变。

卡诺热机

在以上卡诺热机,只有向右做功的运动活塞影响其体积。从以上的 PV 图,我们可以看到热力系统的太被还原。 [公式] 代表热源,对于热源我们假设它的热能大到温度的变化可以忽略掉,所以它的状态也是不变的,也是循环的。

克劳修斯定理

在任何温度被定义的循环变换,成立不等式

[公式]

其中积分的范围对应于一个循环。相等当且仅当该循环是可逆的。

那如何理解其中的 [公式] ?那就是热力系统在一个瞬间从温度为 [公式] 的地方(如一个热源)所接触而吸收的热能。在卡诺热机里,被吸收的 [公式] 热能里面的 [公式] 被用于做功,剩下的 [公式] 输送到了热源 [公式] 。在该循环过程中, [公式] (等于零出于我们在 [1] 里用卡诺热机定义的温度绝对尺度)。

为了证明该定理,自然会想到积分是个和的极限,则适当地证明

[公式]

[公式] 就可以了。我们把这些 [公式] 当做热源,让我们的循环热力系统每循环在接触 [公式] 时吸收 [公式] 的热能。我们注意到我们的热力系统通过接触这些热源吸收(或失去)热能,然后因为循环条件强制内能不变,循环过程中对外做的功由第一热力学定律为

[公式]

这说明我们可以构建 [公式] 个卡诺热机,都从同一个热源 [公式] 输送热能 [公式] ,剩余的热能分别为 [公式] ,输送到热源 [公式] (对于所有 [公式][公式] )。部分输出的热能在卡诺热机里被转换成了功,剩下的进入 [公式] 与我们假设的循环系统接触也由 [公式] 满足了其的做工量等于得到的总热能。这意味着输进的 [公式] 完全被转换成了功,之后热力系统太又跟当初一样,则违反开尔文陈述 [1] ,从而必然

[公式]

用温度的基于卡诺热机的定义,可得到

[公式]

如果过程是可逆的,那意味着,我们可以把 [公式] 从而得到 [公式] 以及

[公式]

两个不等式合起来必然

[公式]

从以上可以看到分析热力系统时要注意热能和功的正负,尤其这些正负的物理含义。按标准定义,吸收热能是正的,系统对外做功是正的。反过来,拒绝或对外释放能量同于吸收负能量,外界对该系统做功同于该系统做负功。一个热力系统可以有多个热能来源(或出口),多个地方做功(或被做功),这些分别加起来得到总热能的改变,总对外做功。显然,热力学第一定律陈述的

[公式]

是能量守恒定律应用于热力学。有意思的是,根据我读到的相关英文资料,热力学的发展竟然对当时科学界对能量守恒定律的认识产生了深厚的影响。

参考文件

[1] 《卡诺热机的热力学》

[2] Kerson Huang (黄克孙) 的 Statistical Mechanics 2nd Edition

Tags: 物理/физика, 统计力学
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