Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

热容,定压热容,定容热容,比热容

其中内容来自黄克孙的 Statistical Mechanics [3]。

[公式] 为热力系统的参数,其系统的状态方程

[公式]

将系统的自变量从三个降到两个。

可以把热力态集合视为嵌入三维 P-V-T 空间的二维曲面(流形)

当系统吸收少数能量 [公式] ,同时温度上升 [公式][公式] 为当时的热容。当分子数量不变的情况下,根据 [公式][公式] ,则自然我们会考虑定压热容定容热容,分别为

[公式]

每质量单元或每个摩尔的热容叫做比热容

内能的变化是独立于路径的,由于

[公式]

通过混合导数相等,即

[公式]

是个恰当微分。

通过 [公式] 三个自变量对,我们也得到

[公式]

从而

[公式]

其中的 [公式] 叫做系统的。从这个容易观察到

[公式]

把熵的定义应用到 [公式] 也给我们

[公式]

[公式] 也是恰当微分(证明它不难,可以参考 [3] 或参考 [2] 自己证),则

[公式]

也就是内能是个温度为唯一自变量的函数。把 [公式] 代进 [公式] 得以

[公式]

也可以得到类似结果

[公式]

我们的目标是把 [公式] 里的实验不便于测量的值以更容易通过实验测量的其他值来表示。为了这个,我们证明一个关于函数关系方程的变量互相偏导数的引理。

引理 强制 [公式] 符合函数关系 [公式] 。设 [公式][公式] 任意俩的函数。则

[公式]

这些的证我概括一下。 [公式] 固定 [公式] 可得到一个曲面。 [公式] 又是另一个曲面。俩曲面交叉必然得到一个曲线,然后应有单变量链式法则即可。 [公式] 固定 [公式] 得到一个曲线,在单变量 [公式][公式] [公式] ,找适当的在 [公式] 上的 [公式] 固定的曲线,从 [公式] 得以

[公式]

[公式] 应用于分子得以

[公式]

其同等于

[公式]

对相关的数学更感兴趣的欢迎读我写的 Implicit function theorem and its multivariate generalization [4],里面有严谨透彻的数学证明。

[公式]

我们从而定义

[公式]

由定义

[公式]


[公式] 可被写为

[公式]

从这些也不难猜出有个”绝热压缩系数“,绝热无热量传输,则等熵,即 [公式] ,则我们可以定义

[公式]

以上的 [公式] 标准为 [公式] 。从 [公式] ,我们又观察到了非别为 [公式] 的线性微分关系,意味这我们可以再用我们的引理。我们便于把 [公式][公式] 表示。然后因为 [公式] 都是自变量,可以把俩”基向量“ [公式] 的在 [公式] 里的”坐标“设为相等,解而得以 [公式] 之间的关系。同时,也可以强制 [公式] 再解 [公式] ,俩结果合起来后可以用刚定义的系数表示 [公式] 。这样,任何分子的理想气体我们只要实验测量在不同温度下的这三个系数,就可以得到该分子的热容。

参考文件

[1] 《卡诺热机的热力学》

[2] 《如何理解用于定义熵的克劳修斯定理》

[3] Kerson Huang (黄克孙) 的 Statistical Mechanics 2nd Edition

[4] Implicit function theorem and its multivariate generalization

Tags: 物理/физика, 统计力学
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