Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

相空间和哈密尔顿力学的刘维尔定理

我先讲一讲我的学习路径。我是在edisciplinas.usp.br/plu 里读到了推导黑体辐射谱的普朗克定律,一旦认识到了那个特别重要。里面算是引用了一些我不熟悉的统计力学知识,所以我就想到要系统的学学统计力学,然后学了一些基本的热力学。为了学习,我也写了一些相关的内容在知乎上发表了,按反顺序为

gmachine1729:热容,定压热容,定容热容,比热容zhuanlan.zhihu.com图标gmachine1729:如何理解用于定义熵的克劳修斯定理zhuanlan.zhihu.com图标gmachine1729:卡诺热机的热力学zhuanlan.zhihu.com图标

然后发现基本的热力学理解深度算可以了,就又回到了普朗克定律,从而发现需要了解统计力学的均分定理。然后在黄克孙书里翻了翻统计力学的那块,认识到自己对哈密尔顿力学了解不足,就稍微读了读相关资料,在其过程中碰到了相空间和刘维尔定理,了解了它。

我觉得物理学中的多维动量空间的概念非常有意思。在普朗克定律里,它有被用上。其实,在物理它出现的很频繁。就我最近过的麦克斯韦玻尔兹曼分布和密度泛函理论(我读了 Fermi 和 Thomas 做的那个基本的推导) 也都用了,就不用说这个哈密尔顿相空间。

哈密尔顿相空间也用到了随体导数,它是一个非常流体力学的概念,自然也用于gmachine1729:三维声波方程的推导

按哈密尔顿力学,位置及动量足以描述粒子的完整态。那我们假设有一些粒子运动在物理空间。那我们好奇在任何时间,物理系统的某群粒子的周围在多维位置空间和多维动量空间的积空间的密度,称之为 [公式] 。我们自然好奇该值随时间的变化率,其用随体导数描述为

[公式]

用连续性方程,我们得以

[公式]

按散度的定义,该散度值为在某一个相空间点的微超立方体

[公式]

的质量流出率除以微超立方体的体积 [公式] 。我们推导穿过立方体任意面的流出率将这些值合起来得以总流出率。 [公式]

是一个面,它的对立面是

[公式]

与这俩面垂直的向量为 [公式] ,通过这俩面的流出率为[公式]

总流出率为

[公式]

除于体积得以

[公式]

从而得到(用乘法定制展开以上等式里的偏导数)

[公式]

应用哈密尔顿方程

[公式]

以及混合偏导数不赖于顺序得以

[公式]

写这个时参考了 Phase Space and Liouville's Theorem

Tags: 物理/физика, 经典力学, 统计力学
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