Sheng Li (gmachine1729) wrote,
Sheng Li
gmachine1729

关于曲线的长度和曲率

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找到了一本俄罗斯人写的微分几何教材,当初看了觉得太枯燥,但近几天当弥补了不少自己的微积分和分析基础后却开始学进去了。我写的英语的数学文章的结果大多都是细节自己独立重证了。如果基本直接抄书,那写的意义可能也没那么大。我想如果我要抄书,那就把它翻译成中文吧,顺便也把中文的名词也给学会。对关于曲线的曲率的那段,我现在就准备这样做,当然如我当时翻译朗道的教科书一样,有的时候也会加一点我自己的想法或补点细节。

讲曲率之前,得先讲讲曲线的长度。

曲线的长度

[公式] 为某个曲线的闭弧, [公式] 为其参数化; [公式] 。我们注意到一个多边形线[公式][公式] )的一个由穿过某有序的有限的点集合 [公式] 的相邻的点的线段构成的曲线。一个多边形线 [公式] 是一个正则内接于曲线 [公式] 的多边形当存在线段 [公式] 的以点 [公式] 的满足 [公式] 的分割 [公式] 。对每个多边形线对应其长度 [公式] 。我们以 [公式] 标记所有正则内接于曲线 [公式] 的多边形线的集合

定义 1.4.1 一个连续曲线 [公式][公式] 被称为可求长曲线

定义 1.4.2 可求长曲线 [公式]长度定义为 [公式]

定理 1.4.1 光滑曲线的闭弧是可求长的,其长度为

[公式]

证明:相当繁琐的用到区间分割的不等式估计。为了时间的考虑暂时不过。此证明也大概率类似于黎曼积分的重要定理的证明。

任意曲线若其所有闭弧都是可求长被称为可求长曲线。对可求长曲线,可以定义基于每一个闭弧的长度的存在的所谓的弧长参数化。取任意点 [公式] 并联于 [公式] 参数 [公式] 的零值。为任意其他点 [公式] ,对应于等于的 [公式] 的弧长 [公式] 参数的值,若 [公式][公式] 之后我们给予其正符号 [公式] ,若 [公式][公式] 之前,我们给予其负符号 [公式] 。若 [公式] 有个光滑正则参数化 [公式] ,其弧长参数化也是光滑的,正则的。当考虑到符号,我们推导出弧长 [公式] 。函数 [公式] 是可导的, [公式] 。从而,存在反函数 [公式] ,其导数为

[公式]

曲线[公式] 的弧长度(或单元速度)参数化定义于公式

[公式][公式] ,我们得到矢量函数 [公式] 的可导,其导数为

[公式] 最后一个公式表明此弧长参数化的正则的。以弧长参数化 [公式] 来表示,切矢量 [公式] ,主法矢量 [公式] 和副法矢量 [公式] 的形式简单如下:

[公式]

第一个公式由 [公式] 成立,第二个成立于等式

[公式] 从这个,我们得到了 [公式] 之间的正交。最后一个公式成立于矢量 [公式] 的定义。

曲线的曲率

[公式][公式] 里的一个光滑的曲线。在此取一个点 [公式] ,另一个点 [公式] 。我们以 [公式] 标记在 [公式][公式] 的弧长,以 [公式] 标记 [公式][公式][公式] 切矢量 [公式][公式]

定义 1.6.1 极限

[公式]

若存在,叫做曲线 [公式] 在点 [公式]曲率

我们会将曲线 [公式] 在点 [公式] 的曲率标记以 [公式]

例子 1.6.1 (a) 若 [公式] 是直线,在 [公式] 的所有点,[公式][公式] 。(b) 若 [公式] 是半径为 [公式] 的圆,很容易得到圆的所有点的曲率都是 [公式]

定理 1.6.1[公式][公式] 正则曲线。在其所有点都有曲率。若 [公式] 是个 [公式] 的正则参数化,则 [公式] .
证明[公式][公式] 的弧长参数化,令 [公式] 。从而, [公式][公式] 为矢量 [公式] 之间的角度。由于 [公式][公式] ,故

[公式]

以这些,我们证明了定理的断言曲率存在的第一部分,并得以公式

[公式][公式] 为任意 [公式] 的正则参数化。利用 [公式] 做个计算会得到

[公式]

定理 1.6.2 在一个 [公式] 正则曲线 [公式] 的任意的点,密切平面的唯一存在的必要并且足够的条件是 [公式] 的曲率在此点不等于零。

证明:从定理1.6.1,我们可以看到曲率不等于零当且仅当 [公式] 之间不是平行的。在这种情况下,根据 [2] 里的 Theorem 2 的证明,只有一个密切平面存在。当曲率等于零时, [公式] ,故 [公式][公式] ,一个直线。显然,任何包括直线的(多个)平面都是其密切平面。 [公式]

定理 1.6.3 我们假设某个嵌入三维空间的平面包含所有曲线的点。令 [公式] 为任意在线段 [公式] 上的连续函数。曲率函数为 [公式][公式] 为弧长参数的曲线 [公式] 有唯一的存在(在由刚性运动而定义的等价关系下)。

证明:我们想寻求满足

[公式] 的函数 [公式] 。当我们不失去一般性地假设平面的法矢量为 [公式] ,从公式 [公式] ,我们能得到

[公式] 然后不难发觉当

[公式] 我们会得到

[公式][公式] 会给我们

[公式]

[公式] 为在初始点的切矢量 [公式][公式] 轴的角度。两个曲率一致的曲线的切矢量的变化也是一致的,则之间的切矢量的差是常矢量,位置的差也是长矢量。我们主要到在这里,切矢量的范数皆为 [公式] 。很明显当此俩曲率同等,可以将坐标轴做刚性变换(旋转,反射或平移)而将某一个曲线映射到另一个。证明的剩下细节留给阅读者。 [公式]

习题 1.7.3 (平面曲线的Frenet公式)证明公式

[公式] 同等于等式

[公式]

:一个简单的计算。

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