May 9th, 2021

More basic point-set topology definitions and properties

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When I got back to learning pure math about three weeks ago after an almost 3 year hiatus, I initially struggled and misbelieved that pure math is much higher than theoretical physics, which would imply that even though I could without difficulty learn special relativity deeply enough to re-derive it myself, it does not mean I would have a high chance of being able to do the same with the likes of Galois theory and measure theory, which were presumably of higher cognitive threshold. In undergrad and the few years after, I honestly felt Galois theory was harder than quantum mechanics. While quantum mechanics might be in some sense “counterintuitive”, it is not technically complex, especially non-relativistic quantum mechanics, unless you make it mathematically rigorous in which case it becomes more mathematical physics than physics. However, I became much more confident of my mathematical ability after I successfully wrote these notes on Galois theory without looking up anything other than the statement of Eisenstein’s criterion (which I suspected correctly was needed to prove irreducibility of the [公式] th cyclotomic polynomial for prime [公式] ), without much difficulty. I remember doing a fair bit of technical proof to show that the multiplicative group modulo any prime number is cyclic and while that was not immediate, I eventually figured out all the details. It took me less than two days to figure out all that was needed for those notes in addition to doing the writeup. For measure theory, I initially failed to prove a simple technical lemma in Rudin’s book, after which I became pessimistic and suspected that measure theory may simply beyond my level of intelligence, especially when I saw that there was a fair bit of detail and formalism required to construct the Lebesgue measure, which I was somewhat reluctant to read through. However, after noticing the existence of pseudometric with respect to the measure on symmetric difference of sets, the motivation and inspiration behind the Lebesgue measure became much more apparent and intuitive. I became more confident that I could now reconstruct the Lebesgue measure myself, and I succeeded in doing so, writing up notes more detailed than what was presented in that section in Rudin. In particular, I remember that Rudin sort of hand waved the proof of closure under set complement of the Lebesgue [公式] -ring, and I filled in the details by proving a lemma regarding the countable intersection of [公式] -finite sets.

Though my yet another attempt at learning pure math was mostly successful and in fact far more so than all previous attempts, I did experience a few failures. For instance, after thinking for a few hours, I was still unable to prove Taylor’s theorem for remainder estimate using Cauchy’s mean value theorem, for which I looked up the solution. I also failed to prove the Heine-Borel theorem, and suspecting that I lacked the requisite intuition and knowledge familiarity to do so without too much difficulty, I also looked up its solution. The few proofs in measure theory which I failed at also involved compactness, which I never developed any serious intuition for. Given all this, it is not surprising that I failed to reprove Tychonoff’s theorem after reading it. It is my hope that in the process of writing this, I can actually figure out what I am missing as far as those finite subcovers are concerned.

I thought of re-proving the Heine-Borel theorem myself, which relies on the Bolzano-Weierstrass theorem, which I did succeed in re-proving myself, recalling the use of nested intervals for it. However, before that, we will cover more point-set topology preliminaries not already covered in [1].

Definition 1 A Hausdorff space is a topological space such that any two distinct points can be separated by neighborhoods.

Definition 2 A metric defined on a space [公式] is a function [公式] that satisfies the following properties.

  1. [公式] for all [公式] .
  2. [公式] iff [公式] .
  3. [公式] for all [公式] .

Definition 3 A topological space is metrizable iff there exists a metric on it.

Definition 4 A base of a topological space is a collection of open sets such that every open set in the space can be expressed as a union of sets from the base.

Definition 5 A topological space is second countable iff there exists a countable base.

Definition 6 A metrizable topological space (or one of its subspaces) is bounded iff there exists [公式] such that for all [公式] in the space [公式] .

Definition 7 For any topological space on [公式] , [公式] is in the interior of any subset [公式] iff there exists a neighborhood of [公式] contained in [公式] , in which case [公式] must be a neigborhood of [公式] . We denote the interior of [公式] as [公式] .

Definition 8 For any topological space on [公式] , the boundary of any subset [公式] is the set of points in the closure of [公式] but not in the interior of [公式] . Formally, the boundary is [公式] .

Definition 9 A sub-neighborhood of neighborhood [公式] of [公式] in a topological space is a neigborhood [公式] of [公式] that is a proper subset of [公式] such that [公式] is a neighborhood of all points of [公式] .

Proposition 1 For a Hausdorff topological space on [公式] , either every singleton set is an open set, or for every [公式] and every neigborhood of [公式] , [公式] , there exists a sub-neighborhood.

Proof: Suppose by contradiction the topology on [公式] is not the finest possible and that [公式] for some [公式] does not have a sub-neighborhood. In this case, every neighborhood of [公式] contains [公式] , because if not taking the intersection of it with [公式] would yield a sub-neighborhood of [公式] . Thus, because [公式] is not a singleton set, we can not separate any two pairs of distinct points in it by neighborhoods, which would imply that [公式] is not Hausdorff. [公式]

Proposition 2 [公式] if open iff [公式] .

Proof: Assuming that [公式] is open, by definition of open, [公式] is a neighborhood of every one of its points. One of the neighborhood axioms (as listed in [1]) tells us that for every point [公式] , [公式] contains a neighborhood [公式] of it such that [公式] is also a neighborhood is of every point of [公式] . Thus, by definition of interior if [公式] , [公式] . That [公式] by definition of interior proves the other direction. [公式]

Proposition 3 [公式] for any set [公式], and [公式] is necessarily open.

Proof: In Proposition 2, let [公式] , then it follows directly that [公式] is open. Because [公式] is open, it is a neigborhood of all of its points. Thus every point in [公式] is also in [公式] by definition of the interior operator. The other direction of set inclusion directly follows trivially from the definition of interior operator. Thus, [公式] . [公式]

Proposition 4 If [公式] is a neighborhood of [公式] , then [公式] is a neighborhood of [公式] .

Proof: is a neighborhood of [公式] . Thus by definition of interior point, [公式] . By Proposition 3, [公式] is open. By definition of open set, [公式] is a neighborhood of every point in [公式] , which it also contains. This completes our proof. [公式]

Corollary 1 If [公式] is a neighborhood of [公式] , then there is an open sub-neighborhood.

Proof: Follows directly from Propositions 3 and 4. [公式]

Corollary 2 Every point [公式] has an open neighborhood.

Proof: Follows directly from Proposition 4. [公式]

With Corollary 2, from now on, whenever we say neighborhood of a point, one can tacitly assume that is open unless specified otherwise.

Proposition 5 For any Hausdorff space on [公式] , for any point [公式] , there exists a chain of neighborhoods of [公式] , [公式] , monotonically decreasing under the sub-neighborhood partial order, such that [公式] .

Proof: By Corollary 2, we Suppose by contradiction that for every such chain, [公式] is a proper superset of [公式] . We can construct the collection of such infinite intersections such that WLOG, no two elements in it exist such that one properly contains the other. We call this collection of sets [公式] . Obviously, no neighborhood of [公式] can be a proper subset of any [公式] . But for any [公式] , wherein [公式] is a sub-neighborhood of [公式] for all [公式] , there is a point in it [公式] not equal to [公式] , and thus because the space is Hausdorff, there exists an open neighborhood of [公式] not containing that point, which we call [公式] , with [公式] . By one of the neighborhood axioms, [公式] is a neighborhood of [公式] for all [公式] , which is also open. [公式] then is such a chain of neighborhoods and one that is a proper subset of [公式] , a contradiction, which completes our proof. [公式]

Theorem 1 (Cantor’s intersection theorem) For any topological space [公式] , a decreasing nested sequence of non-empty compact closed subsets of [公式] has a non-empty intersections.

Proof: Left to the reader. This is non-trivial, and I myself have not seen the proof either.

Proposition 6 For any chain of neighborhoods of [公式] , [公式] , monotonically decreasing under the sub-neighborhood partial order, such that [公式] , then an sequence [公式] need not converge to [公式] .

Proof: Let [公式] . Let all intervals [公式] and [公式] be open sets. Let [公式] such a chain of neighborhoods of [公式] , in which case [公式] . Let [公式] . This does not converge to [公式] since[公式] is an open yet no element in the sequence is equal to [公式] . [公式]

I got this counterexample from @Sizhe Chen after failing to prove a false proposition. However, I suspect it would hold for connected neighborhoods.

Proposition 7 The complement of an open set is always closed.

Proof: Because any open set [公式] is equal to its interior, it does not contain any of its boundary elements. We note that [公式] can be partitioned into [公式] . The elements of any sequence in [公式] is either in [公式] or in [公式] . Because [公式] is a neighborhood of all of its points, such a sequence cannot convergence to a value in [公式] , which completes our proof. [公式]

Proposition 8 For any [公式] and any [公式] , any neighborhood of [公式] contains a point in [公式] and a point in [公式] . Moreover, [公式] .

Proof: With [公式] , we know by definition of boundary that not subset of [公式] can be a neighborhood of [公式] . Thus, any neighborhood of [公式] cannot be disjoint with [公式] . Now suppose by contradiction that there is a neighborhood [公式] of [公式] disjoint with [公式] . In this case, [公式] is a subset of [公式] . Because [公式] is open, no sequence of points outside it can converge to any point in it. Thus, [公式] is disjoint with [公式] . By definition of boundary, there exists a sequence in [公式] that converges to [公式] . But no sequence in [公式] has any points in [公式] which contains [公式] . Thus, no sequence in [公式] to [公式] , which means that [公式] , which contradicts our hypothesis.

For the second part, with [公式] disjoint with [公式] , we have that [公式] for all subsets [公式] . Apply this to [公式] and we get [公式] . This completes our proof. [公式]

Proposition 9 Given any subset [公式] , [公式] can be partitioned into [公式] .

Proof: [公式] are disjoint by definition. Since [公式] by Proposition 9, [公式] are disjoint too. Obviously the two interiors are also disjoint. That the union of the three sets equals [公式] is also easy to verify. [公式]

Proposition 10 For any topological space on [公式] , for any set [公式] , [公式] is open.

Proof: The cases of [公式] are of course trivial. In general we note how

[公式] Then by Proposition 3, [公式] is open. [公式]

Proposition 11 For any set [公式] , [公式] and [公式] is closed with no interior points.

Proof: By Proposition 8, for any point [公式] , any neighborhood of it contains a point both in [公式] and in [公式] , which by Proposition 9, are both disjoint with [公式] . Thus, [公式] is not a neighborhood of any of its points. This shows that [公式] and that [公式] has no interior points. Because [公式] are both open sets, no sequence in [公式] can converge to any one of their points. This shows that [公式] is closed. [公式]

References

北大教授丁伟岳项武义炮轰丘成桐讲话实录

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北大教授丁伟岳项武义炮轰丘成桐讲话实录

时间:2005年10月14日
地点:北京大学数学学院
丁伟岳:北京大学数学学院教授,中科院院士
项武义:加州大学Berkely数学系教授,北京大学数学学院教授

主持人:今天在这里开一个座谈会,大家在网上看到了丘成桐的一些文章,同学们对这个事情比较关注,也需要了解事实真相和更深层次的东西,我们很荣幸的请到了丁伟岳院士和项武义教授,给大家就这个事情做介绍,首先我们热烈欢迎二位家宾的道理,首先请丁院士来给大家讲一讲。

丁伟岳:我首先给大家介绍一下背景情况,因为这个事情大家可能不一定了解他的全过程,包括项先生,对这个事情的全过程并不见得很清楚,我们注意到丘成桐教授开始对田刚院士进行攻击是在2004年的3月,他先是做了一次演讲,叫《我的数学之路》,其次又在中国科技交流奖大会上发表了一个演讲,这个演讲的题目叫《数学与科技》,都是在3月份出来的,然后他就开始在这两个演讲和访谈中开始影射了他以前的一个学生,而且是MIT的名教授等等,做了一些负面的批评,当时,一件事情就是说,他讲了这个东西还不算,还把它登到我们中科院数学所出版的的《数学译林》,这本杂志大家可能都知道,在我们图书馆里都有,如果你翻一翻2004年第2期,就可以看到这两片文章,当时产生这个事情的背景是什么?是2004年3月,南京大学传出一些风声,说是田刚要去他们那儿做校长,然后就引发了丘成桐公开的言论,然后这个事情后面好象平静了一段时间,到了今年1月份又开始了新一轮在公开的报章和访谈上进行新一轮的攻击,这个后面也不是没有缘故的,这个直接的原因就是我们北京大学计划成立北京国际数学中心,由田刚来担任中心主任,这件事情被传出去了,实际上当时传出去的时候,中央已经原则上批准同意了这件事情,直到发改委到我们学校实地考察,建设费用究竟要多少时才公开化了,从而引来了第一次的攻击,第一次我看到2005年 1月17日有一个叫《中华读书报》就发表了丘成桐的一个讲话,就讲到胡锦涛最近看到了杨乐,其中谈到要识别人才,他非常赞同,”我以前的一个学生在数学上是二流,到国内要拿高薪”,等等,非常明显的一种东西,然后到了6月份,有个《海峡时报》,不知道在国内还是在香港,有一个记者的访谈录,这次好象重心有点放到北大上,说北大如何如何打压兄弟院校,如何如何压制一些好的数学家不让他们出名,讲到现在已经快到后来的事了,8月9日大家都比较清楚,比较靠近现在,在《北京科技报》又上发了一个访谈,又升了一级,不仅对北大做了很多攻击,而且对田刚教授做了人身攻击,牵扯到一个所谓抄他一篇文章的事情,所以我刚才从04年3月份讲到05年8月,我们北京大学数学学院,或者是我们北京大学的任何人,对他都没做任何回应,我们采取了相当克制的态度,希望这个事情能自生自灭,不要去惹其麻烦,到了《北京科技报》这种人生攻击的程度,好象有点忍无可忍,我们仍然很客气,然后我们的同学,以调查的形式,在我们北大未名的网上做了一个调查,大家好象也都看过,其中主要是对丘成桐教授讲的北大三件事情澄清了事实真相,这三件事情好象大家都听说了,一件事情是说我们的学生到了哈佛很糟糕,最后退学了,确实有这么个事情,第二件事情说我们的老师不关心本科生,有个学生要去哈佛做他的学生,问了一下我们的老师,都不认识,所以不关心本科生,第三个事情是我们的一个博士,给他三次写信去要求到哈佛去访问,然后他说这个人的博士论文是一塌糊涂,一无是处,连香港大学的学士论文的水平都不够,就对这三件事情做了回应,这个后来呢,由于我们也向上面汇报了这个情况,所以他再在正规的报纸上刊登攻击言论就做不到了,然后他又做了一个多月的准备,然后在9月29日在网上贴出了一篇更加有攻击性的访谈,以记者访谈的形式来发表的一系列言论,这个题目就叫《丘成桐院士澄清有关北大的某些事实真相》,记得不大清楚了,30日早上我起来一看我们的BBS,已经有人转载了,丘成桐他经常看BBS,我也经常看,我很吃惊啦,我们好不容易。。。把这个事情平息了,这个事情怎么又冒出来了,然后我去查了一下,这篇文章原始出处是在中科院一个博士家园的论坛上,然后很快被浙大的数学中心和晨新的数学中心,又很快被转载到国外的万维读者教育与学术上,这次的攻击不光是对田刚本人的人身攻击,还波及到我们数学院其他院士的头上,也是明显的人生攻击,当然这个事情我不愿意发生,我刚才说了,前两轮到是有背景的,那么这一轮也是有背景的,就是我们北大的国际数学中心被中央正式批准了!而丘成桐和科学院提交的呢–因为他们知道我们中心的事情,所以很快也提交了在科学院成立中心的报告,到了8月的时候,他们已经知道他们的这个没批准,而我们北大的批准了,所以是逐步升级的,都是有背景的,毛主席教导我们,这个世界上没有无援无故的恨,也没有无缘无故的爱,这是一个很好的事例,确实是有缘故,当然,如果攻击里面有事实依据,我们虚心接受,我们应该改进的还是要认真改进,但是他说出的很多话都是带有腐蚀性的,你比如田刚的一切都是他给的,田刚得的这个奖,那个奖,以至于田刚在MIT教授的位置,都是他丘成桐的功劳,给青年人一个什么印象?你没个大老板,你怎么办呢?你做学问还有什么用呢,这就散布一种腐败的这种空气,对不对?你不知不觉就,因为我在网上也看到,说来说去还得有一个好的老板,这个大腕,或者叫大牛人,是不能得罪的,很多人得出这么一个结论。我觉得这个实际上是这个事情的可怕之处,他不知不觉就把那种腐败的空气散布到我们本来比较健康的环境当中来,另外一件事情我是希望大家对北大还是要有坚定的信心,我是北大67年毕业的,62年入学的,我进来以后受到很深的教育,就是说我的师长,我们大家的师长,都是诚诚实实的为人,兢兢业业地搞学术搞教育,一心扑在培育人才和为国家做科学研究上面,没有人,或者说几乎没有人,去搞歪门邪道,直到今天我觉得这还是北大数学学院的一个良好的传统,我们有这些好的前辈,许宝录,江泽涵,程民德,闵嗣鹤,啊,这些都是足以为万世师表的一些人,我觉得我们一定要把优良的传统传下去,不要因为有一些风吹草动,有一些不良的言论,就动摇我们对北京大学数学学院的信心,我们大家都应该在这个环境下继续安心的学习和专研,我们一定要培养更多的优秀人才,甚至不排除我们有超过丘成桐的人培养出来,这是我们最好的回答,所以我们一直不想去回答他,原因是我们相信事实胜于雄辩,我们要做好自己的工作,我先讲这么几点,请项先生再讲几点。

项武义:第一个是讲丘成桐的批评我是一无所知,今天早上才拿到资料。因为丘成桐是加州大学Berkely的学生,所以给大家简单的介绍一下。有一次陈先生从香港访问回来,在香港一个外国的教授对陈先生讲,我忘记了这个人的名字,跟陈先生介绍丘成桐,说丘成桐这个人不错,那时候他大概念大二刚念完,看来丘成桐不错,不就简单嘛,把他请到Berkely念书就行了,所以大二刚念完我们就给他奖学金到Berkely了,在Berkely毕业不毕业没什么关系,他做数学还是很用功的,陈对他也不断的非常照顾,总之我对丘成桐有蛮多的认识,但是丘成桐讲的话,我已经有先进的经验,丘成桐的话,是不屑一顾的,所以我今天很吃惊,有这么多的人为了丘成桐的话,跑到这里挤得水泄不通,对我来讲是这一件很吃惊的事情,那么,所以今天,一个基本的态度,当一个人对你所在的北大,或者你认识的人,做一些批评或者攻击,当然这个世界上的批评各种各样,刚才丁先生讲了一些背景,我们不要管这些背景,这个批评粗略地分,有恶意和善意的,我们怎么对待,假如你一看这是个恶意的批评,从形式上可以看得出来的话,即使是恶意的批评,你也要反省一下,他讲得到不到点,假如他讲得到点,管它恶意善意,你要感谢这个批评的人,当然他恶意,不见得要当面去谢谢他,既然他讲的是对的,我为何不趁早改正,做自我完善,岂不好哉?假如他是恶意的批评,批评的东西完全也不到点,就是在胡说八道,肆言无忌的,蛮横无礼的讲一些话,那么简单的嘛,唯一的办法是置之不理,因为对存心要攻击你的人,你越解释越糊涂,反过来,假如这个人是善意的,他批评的到点,你要当面谢谢他,即使批评得不中肯,因为他是善意的,你要跟他解释,你是善意的,但是跟事实不符,这个是人情之常,所以我觉得这个是简单而基本的态度,那么这里面我的感觉,居然会有这么多人,为了丘成桐说一些胡说八道的话,坐在这里,还要关注这个事情,原因我想,你们不大了解什么是丘成桐,我给你讲一些非常简单的我自身的简单的经历,总之这么说吧,大家认识他是因为他在华沙的Fields奖,当然他做了K猜想,后来因此得了Fields奖,在得Fields奖之前他拍陈省身的马屁是不遗余力的,OK,这个有很多,我有很多他写给陈先生的信,陈先生都给我了,我这里都有副本,今天没带来,以后你们有兴趣,总有一天我要把它们公布的。那次华沙会议,他认为得了Fields以后,他一向认为陈省身是中国数学的霸主、皇帝,老皇帝老不死不行,应该下位,他现在得了Fields奖,就应该把位子给他,这是他的想法,我们现在听来都觉得是荒谬的思想,丘成桐就是这种思想的人,他在信里面就这样写的,所以那时候他就逼着陈先生把宝座让给他,尤其他得了华沙Fields奖之后,你看,他讲话你们还在那里听着他的东西,陈先生不听,所以他要攻击陈先生,要把他从老皇帝的位置拱下来,拱的办法,丘成桐的办法也不是有什么了不起的计谋,他的办法是蛮着来,他就是要说陈先生是崇洋媚外,怎么呢?今天又有简单的故事,今天大热天,你们坐在这里,就讲点故事吧!这个故事是什么呢,因为大家都知道,有一段时间,李政道很热心,要想办法把中国年轻的人送到,就叫CUSPEA,有一天,只有物理孤掌难鸣,所以就想把数学拉过来,有一天就跑到陈先生那里,希望数学也参加类似的计划,有一天就来了,陈先生找我去一起跟李政道谈,总之谈了陈先生说那就好吧,就试试看吧,就建议,就写信,就有了国内称的陈省身计划,送研究生到美国去,跟CUSPEA不一样,陈先生是这样,是不大喜欢管闲事情的,他的事情能少管的就少管,无为而制的老先生,但是他关心中国年轻人的成长,所以他就建议美国数学协会来做这件事情,美国数学协会做的方法是,大概由中国数学会推荐或各个学校推荐,详细情形我记得不太清楚,美国就派了三个人,一个是Griefilds,一个是RobotBrice,一个是MIT搞应用数学的,这三个人就到中国来面试学生,丘成桐就想,为什么到大陆来不是他来主持呢,因为到中国来,怎么请个洋人来?应该请丘成桐来!而且最好只请丘成桐一个人,你讨我喜欢就行,你不讨我喜欢,就在你的屁股上蹬一脚,这是丘成桐最喜欢做的事情,而且做的事情要盖印,屁股上盖印,丘记!他没有得到这个机会,他就很不高兴。在华沙数学会上,丘成桐、萧荫堂和项武忠是做所谓一个钟头的报告,郑少元做45分钟的报告,所以四个人呢就讨论怎么样讨伐陈省身,就是因为陈省身崇洋媚外,于是就起草了一封信,这信里面最主要的这种事情为什么不找丘成桐,要找外国人?所以陈先生是崇洋媚外,是从八国联军之后是最厉害的一个,主要就这一句话,其他的懒得去记,这封信呢要四个人联名,当然有项武忠,他们那天在项武忠的旅馆里面见面,这是项武忠后来跟我讲的,他们故意带了一瓶老酒,项武忠就喝醉了,我跟你们讲,不但喝醉了,还有一件事情,项武忠三个孩子中的一个女孩子,从小就得了腰子上的一种癌症,后来死掉了,托了很多人,其中一个人要故意造成项武忠对陈省身的敌忾统筹,说陈省身曾经讲过,你这个女儿得这种病,是前生来讨债的,这种话陈先生是否讲过,无法考证,即使讲过,也不是恶意的,但是那个阶段把这个话透出来了,项武忠一拍桌子,签了!所以那封信四个人是签了名字的,项武忠后来讲,那个信是签了名的,但是我现在后悔了,不要签!这是项武忠的话,有这么一封信,这封信呢,中文写的,也寄给Griefilds的,当然Griefilds看不懂中文,当时丁石孙在哈佛访问,就让丁石孙给他翻译,这是一件事情。长话短说,我讲讲我的经历是什么呢?差不多那个前后的时间,我去加拿大访问,陈先生去哈佛、MIT、Brandis三个学校讲课,讲完之后萧荫堂就找到陈先生,要陈先生给美国数学协会写信,其中有个叫committee on committee,就是这个committee决定数学协会各个committee如何组成的,究竟派谁,那个人是Berkerly的Rofield Robinson的,Julia Robinson是他的太太,他们两个都是Berkely的教授,很好的数学家,他是committee on committee的成员,他们就逼迫陈先生写信给Robinson,要他把另外三个人免职,让丘成桐负责来中国考核学生这个事情,萧荫堂跟陈先生说有事情要跟他讲,陈先生说他一会要回他儿子BOSTON那里吃晚饭,你就一起来吃晚饭吧,吃晚饭的时候搞了一个钟头就逼陈省身低头就范,要不然那封信就在报纸上公开,所以写信上报这个事情是丘成桐的一贯作风,那个信不是攻击田刚,是攻击陈省身,因为他崇洋媚外,自从八国联军后以他为最,好了!陈先生不喜欢的听的话就朝天花板上看,陈太太在旁边气得要命,萧荫堂是不识时务的人,而且跟陈先生讲,丘成桐得了Fields奖,你不要敬酒不吃吃罚酒,就是这种讲法,而且是数学归纳法,不断的讲,讲了N次,好了,我们就把内幕讲出来。我从加拿大访问回来,碰到田长霖,武义,你跑那去了?陈先生到处找你找不到,我说我去加拿大了,我回家就跟陈先生打了一个电话,陈在电话上把这件事情给我讲,几乎以哭泣的跟我讲,wo did I do, desever this?我对丘成桐这么好,陈先生对他好,比他儿子还好,好十倍,五十倍,how did i do?这个话他讲了五次,我听了,我就说你给我讲干啥?你应该打电话给丘成桐?陈先生觉得武义的话有道理,就把电话挂了,给丘成桐讲,打完以后,过了半个钟头,陈先生的电话又来了说我给丘成桐打了电话了,我问他怎么说了,他说丘成桐说,这个事情有,但是萧荫堂不应该告诉你,讲完以后没什么话好讲,怎么办呢,又不能挂电话,简单的办法就是骂项武义,他为什么要骂我呢,什么事情都有背景,因为那个时候在78年,我很不喜欢讲我自己,不得不讲讲。丘成桐为什么他突然骂我,这个背景是这样的,我是第一次是73年回中国,我说要回北大做教授,我对中国关心,所以我去教授,所以我让陈先生给周培源写信,我要回北大做教授,我要回来看看,我到未名湖的临湖轩看周培源,那时候段学复做系主任,所以来了以后老段带着我去看周培源,周培源一看不等我讲话,就说我刚从井冈山考察回来,当年蒋介石把井冈山打下来的时候,有多么多么残暴,比如有一个故事,把一个老大娘抓来,把火钳弄热了以后,把石头给钳出来,诸如此类的,残忍得不得了。我就在旁边听,段学复就听得不耐烦,就说,周老啊,我又不是不懂事,你老讲这个事情干嘛呢?周不听,他继续讲,我于是就懂了,周培源要告诉我的是,项武义啊,这里切不可回来,所以我跟我太太讲,我们告辞吧。总之这个完了以后就发现中国越来越来,那次到各个学校考察,发现都在搞教育革命,问怎么个搞法,说在摸索中,回去以后呢,就觉得这次去了还搞不清楚,怎么个摸法,就在那时,我向Berkely要求第一次半年的休假,就写信给数学所,要到中国访问半年,在中国呆半年看看究竟怎么回事,这信发出去石沉大海,没有回音,我这个半年的休假都在等这个信,等休假完了以后突然收到了一封信,就看,是吴文俊写的信,不过不是吴文俊写的,是他签的名,吴文俊莫名其妙的说你以后回来的机会总有的,也就是说你回来访问的机会并不是空集合,后来越看中国越乱,以后华国锋又上台了,我看了也不象样子,所以还不理,直到后来邓小平复出了,讲要四个现代化,我就想这个四个现代化是真的要搞,不是说说而已,因此我就跟我的太太说,在中国搞四个现代化这不是第一次,以前每次都失败了,船坚炮利,百日维新,都失败了,可是以前失败我们没有责任,因为那个时候我不存在,假如现在万一归纳法又失败了,又很难面对自己,但是中国乱,所以不能回来,因为回到北大不是回到中国,是回到某某党委的聘用之下,这个日子我过不了,所以我不回来了,后来想想,不回来能否为中国做点事,我想了半天,至少可以给中国的青年写本书吧,在国外也可以写书,总之我又花了5日5夜,从头写起,写《微积分大义》,为什么不写李群写微积分,因为微积分有用,李群这个东西不那么有用,这个写法不参考任何现有文献,从原始写,慢慢写,写了以后把这本书寄个方毅,因为我知道寄给吴文俊,吴文俊也得送上去请示方毅,对不对,于是就寄给方毅,可是方毅到现在还没给我回信,方毅还欠我一封信!长话短书,这封信寄出去石沉大海,有一天有个人给我打电话,说文汇报上有个消息,中国在开科学大会,有个crazy的事情,一个海外的作者寄书给中国,还热情洋溢的讲了一短话,是不是你?我说是我啊,因为那话是我写的啊,方毅总该给我回信吧?那时从4月到7月,我本来计划去丹麦,已经答应人家了,那天华盛顿了电话,说你申请回国的事情准了,我说我没申请啊,他说是中国教育部邀请你回去的,我说邀请的话另当别论,所以我对丹麦说不来了,我就回中国了,就在清华半圆形的讲堂讲了一个礼拜,他们认为我写微积分大义,一定是教微积分的专家,就把中国很多教务老师都请过去听,那我就讲呗,总之在那段时间北京是弥漫着所谓要搞四个现代化的兴奋,春天的气息,我就受到感染,就觉得中学的数学教育是很要紧的,中国最大的财富是人口,人口大国当之无愧,人只回生孩子吃饭不行啊,人要变成国力,得提高素质,所以我那个时候要求见蒋南翔,那个时候蒋南翔还不是教育部长,是内定的教育部长,那个谈话谈了一阵子以后,我就回来搞中学数学,要注意,中国把我不当自己人,我是外人,我在这里总有个人跟着我,报告我在做什么事,后来就把我当半个自己人,因为有些事情发现,我去讲可能更有效,于是就安排我去见胡耀邦,就第一次见了胡耀邦,见他的时候过了半个钟头就有个人来端茶,意思是时间到了,胡耀邦挥手,我还要谈,就把他赶走了,几次挥手之后,就谈教育问题,一直谈了两个多小时,胡耀邦一心向国,重视教育,于是我们谈得很投机,回到北京饭店后,又整理讲稿,后来又见了胡耀邦几次,有次是蒋南翔跟着去见的,胡耀邦是急性式的,他突然讲,我要请你做整个中国数学教育的总顾问,我呢也不把这个事情当真,总顾问也没有什么聘书,对不对,接下来,蒋南翔就在接见一个中学教师的会议上宣布了这个事情,这就是丘成桐要攻击项武义的原因,你项武义怎么能做这个事情呢?他说陈先生讲,他骂你啊,骂了足足半个钟头,就骂你,我说我在中国做什么事情,陈先生根本一无所知,所以丘成桐的攻击,你能当真吗?他根本不知道我在中国做了什么,就因为总书记要让我当总顾问,这总顾问是他应该做的,怎么你能做呢?就要攻击了,人身攻击了,说了很多莫名其妙的话,我就打电话给丘成桐,说我在中国做什么事情你根本不知道,你就瞎骂一气,你跟陈省身的纠葛就自己去纠葛,别罗嗦,你给我滚得远远的!丘成桐这个人你要知道,是死缠烂打绝不放弃的,所以他骂北大,你不要吃惊,过几个月又来了,他这个做法,是做数学归纳法,继续还要骂,那么他怎么办呢?我说你怎么知道,他就回中国来,考察项武义做过什么,他的办法很简单,就找跟项武义做中学数学教育编写组的那些人,要调查项武义的事情,最好是找我的黑资料,数学所有个X,参加我的编写组,主要是要我帮他出国访问,我根本不理!丘成桐来了,就找X,一上来,就说项武义怎么怎么,说我可以让你到国外访问,你只要把项武义的黑资料抖出来就行了,这个东西是一手交钱一手交货的,那么X就讲了一句话,他说项武义的这个书啊,是错得匪夷所思,他说这个指数函数的定义,用到了一个函数在一个游离点连续的话,就在全部连续了!丘成桐一听,就说,你不要胡来,项武义的数学没那么差!后来果然,虽然如此,丘成桐说话还是算数,就把那个人请到San Diego访问去了,这就是丘成桐!OK,好了,他要攻击我,所以那段时间他就攻击我,还有一个事情。讲完故事就可以散会,讲完故事你就知道丘成桐是什么人,是怎么回事,就不屑一故,可以厌而远之。接下来,又有一次,在印度开亚运会,中国第一次参加,得了金牌数不胜数,陈先生就很兴奋,就说武义你看得了这么多金牌,中国还是行,我就跟陈先生讲,这个东西,中国人这么多,选拔选拔,加一个集训不就行了,数学其实也可以集训嘛,陈先生觉得这个是好主意,陈先生这个人比较懒,于是项武义执笔,写信给教育部长做一个暑期班,我那个时候跟教育部常有来往,于是做第一届数学班,接着暑假就回来,住在北京饭店,跟吴文俊、程民德、还有龚升,那个时候北大没有漂亮房子,破房子没地方,于是一开会就跑到我北京饭店的房间,加几把椅子,就坐在床上开会讨论,我就说我们先选讲拿些科目,然后在全世界的范围找最好最合适的人来讲,国内好就选国内的,国外好的就选国外的,那个时候龚升就死洋怪气的吭一声,他说你呀,你不懂中国国庆,第一次都从国外选,你要从国内选,我们自己国内还打破头呢,程民德老先生就讲,龚升讲的话还是有几分道理的,吴文俊一声不吭,嘿嘿嘿在那儿笑,于是就觉得第一次全部从国外选,第一次选了六门课,在北大,包括多复变,当然选了萧荫堂,不晓得怎样,丘成桐得到消息,说项武义决定都从国外请不从国内请!丘成桐骂人的一个老招,数学归纳法,项武义崇洋媚外,八国联军之后第一名是陈省身,第二名是项武义,这个事情他明明知道不是项武义讲的,因为是龚升的意见嘛,他要找一个资料,于是他就命令陆启铿,那个时候陆启铿是他的马仔,要陆启铿去找龚升,要龚升指证是项武义决定的,所以项武义崇洋媚外,于是陆启铿就摇个椅子跑到龚升家去了。我就把龚升叫来了,对不对,龚升跑来跟我讲,陆启铿跑到龚升家里怎么讲的?是不是项武义决定的?龚升不敢承认,丘成桐太可怕了,龚升做什么事呢,他说让我看看那天的日记,看完日记后就说那天日记上没写,陆启铿如获至宝,马上打长途电话给丘成桐,丘成桐马上打电话给萧荫堂,然后呢,就是项武义崇洋媚外,萧荫堂就跑来跟我讲,丘成桐是不好得罪的,我就在中间做经纪人,Broker,香港人喜欢用英文,使得你们两个人谈和,我就对他讲,你回去告诉丘成桐,项武义对他厌而远之,少罗嗦,我随时把龚升叫来,当时有人嘛,把吴文俊,程民德找来对质嘛,龚升就给我猛磕头,猛道歉,我看龚升也很可怜,就放了他一马,从此以后呢,我就对丘成桐厌而远之,故事讲完了,以后还有很多很多东西,要多讲。丘成桐就是这个东西。丘成桐讲话就是这样,说老实话,他为什么老骂人家崇洋媚外,因为他是骨子里崇洋媚外的人,他跟中国人讲话音调是一个,跟外国人讲话音调变,不一样的,白种人就不一样,这是香港训练出来的这种殖民地出来的一种病态,所以他一辈子里脑子里要称霸,需要陈省身的时候,可以舔陈省身的屁股,觉得的,用信来舔,用白纸黑字来舔,不需要的时候,不要陈省身,他们两个人的恩恩怨怨就在茅厕里,现在呢,他要说是陈声身的当然继承人,比如有一次,调查项武义的黑资料,严济慈请他吃饭,他就拒绝承认是陈省身的学生,严济慈就跟他讲,吾爱吾师,更爱真理,严济慈是反话,丘成桐反而认为是夸他,陈省身和丘成桐之间有一些信在我那里。没有一点添油加醋,丘成桐这个人有了数学就有了权力,权力是他最向往的事情,他呢在任何地方就要称王称霸,你不听他的话就一脚踩死,国内假如有不正之风,我想是有的,这里面很大的源头,就是丘成桐(完)。

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我对丘成桐的观点的演变

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我是高一得知丘成桐这个人的。很多是因为之前学习没多么好的我在个数学竞赛为学校少数的进入下一轮的人之一,从而对我的数学和学习能力的信心有所提升,得以启发了解更多有关于数学和数学家的事情。当时的我也并不那么聪明,尤其在语言,阅读和写作上,还是个小孩儿,对数学和与其相关的理论物理,包括从事该方向的人,经常只能感到敬畏不已。所以我高一春天起也自学了一些微积分,同时也学了点物理学,当然,后者对我是远远更难的,大多根本就没有学进去,我觉得主要的原因是当时脑子还没有发育到一定程度。不过虽然当时智力有限,我的品味还算不错,学了点更有数学意义的数学就对数学竞赛有点失去兴趣了。我也在百度上查了查丘成桐,也看到了有新闻报道,“数学奥赛在扼杀中国的天才”,让我感到有点吃惊,也不得不受了一些影响。丘成桐也强调了好多数学奥赛问题太钻牛角尖,中国学生只会应试,不会自己去问问题。当时的我在网上看到了美国搞数学研究的人也写了数学研究与数学竞赛的不同,我当时由于知识和经验太有限,当然无法真正理解,只能非常模糊地相信。

我的数学竞赛的能力高中时也并不强或至少不是很强,主要在于做题速度和准确度不够高,有些更难的竞赛我也根本解决不了,学校有明显比我强的人。这个最根本源于当时的我的数学智力还没有发育到一定程度,所以当时的我是很难更深入数学竞赛的,也自然会被更重科学知识而非智商的微积分所干扰。微积分而言,做计算和直觉上搞明白相对于数学竞赛是很容易的,但 [公式] 的定义也只是高二夏天才能明白。我倒记得当时的我几乎把数学家当做神来看待了,因为我也不是没有上网上去看一些数学史和数学家之类的内容,看了之后意识到了明显差距也对我自己的天分很质疑。与此同时,我是看了一些关于丘成桐和其他中国数学家的内容,以此也练习了我的中文阅读。我也很容易看到了丘成桐对中国的教育,学术界和数学家的评价是偏低的,虽然当时在美国上高中的我对此没有任何真正的细致的理解,很多是听了一些大人和媒体说的大概。

上了大学以及大学毕业之后工作大大开阔了我的眼界,不仅在数学和相关的计算机和编程上有了很大的提高,对历史,政治和社会的理解和亲自经验也更是如此。从而,我越来越失去了对丘成桐的敬畏,并越来越觉得他的很多作为太偏纯数或太自私了。的确,他老强调的美国学生搞奥赛和数学更多是为了兴趣,而中国的更多是功利为主,为了应试和升学不是完全没错的,我的观察也类似,不过没有像他的那么夸张。不过,有了些历史和政治知识,对学术界的了解,以及社会经验,我也认识到了丘成桐那样主要是为了维护他在中国的地位和影响力,尤其鉴于丘成桐的香港长大的背景是明显对他政治不利的。讽刺的是我看了一个丘成桐近几年的洋人的采访,在此,他还真诚地说了,当时他父亲逃到香港以为只会是短暂的,将来国民党反攻大陆,还是可以回去的。

我也在工作中问了一位北大硬理工科毕业的人北大的人对丘成桐怎么看,他的回应是

Great mathematician. That’s all. 他的声誉在中国其实是很一般的,因为他在做人,为人处世,基本上是个 complete failure.

后来,也有纯数学学的比我远远更深的人跟我说了丘成桐更多是个技巧和计算上特别 powerful 的数学家,后来我看了看丘解决 Calabi 猜想的文章,也观察到了那里面的张量计算及不等式估计是非常不一般的繁重,丘的确是个超级 technically powerful 的数学家。

我也看到丘在一个视频里以相对“游手好闲”形容数学博士生,与什么生物系的相比,并且即使在工业界也有不少出路,还扯了扯什么在哈佛,法律学生也都是要学数学的。看到了这些,我就更加认识到为什么有北大毕业的人认为丘的品德不好,觉得他比那些退学到硅谷和华尔街工作的人危害大得多。怎么说呢,人显然是有物质和经济追求的,一个数学天分不是超强的人搞纯数是没什么意义的,丘成桐应该以务实的角度对待99.99%+的人智商远低于他的事实。尤其一个出身贫寒的人,工业界给他很多钱,他当然会退学去了。中国在纯数学上相对差些很多也是因为国家比较穷,更多优秀人才去解决那些有直接经济或地缘政治效益的问题了,而非脱离现实文章被少于千人读过的理论数学,中国相对于近代数学发源地的西方的起步晚不少就更不用说了。

丘成桐这么脱离实际的宣传忽悠不了大多懂理工科的人,所以他只能向那些学习不那么好的人和他们的家长以所谓的中国教育有问题“安慰”一下,为自己赢得更多的关注和支持。讽刺的是他的那个听众更是不应该学数学专业的人。最近还看到了他评论什么华为任正非不够重视数学,我就真的觉得笑死了,因为学计算机的我知道对华为有经济效益的应用性的数学跟丘搞的非常抽象高深的理论数学是没什么直接的关系的。

丘成桐有时也会以“爱国”为自己的行动辩护。可惜的是他的行为却经常是与其相反的。比如,他搞个高中研究型的数学竞赛,这不是搞笑么,高中生能把大学的数学学下去就很不错的,哪能做什么不是图论或组合数学的数学研究啊。就不用说他的香港背景,和他对投入千亿搞无用的对撞机都是明显与中国主流利益相反的。看到疫情爆发之后,丘又接受了采访,说的还是同一套,我就不得不觉得这个人太无味了,身在美国还非常评论中国的这个,中国的那个,尽管自己经常是完全没有跟上时代和中国的变化。

有的时候丘说的话却是个直白的 hypocritical,比如有意思他吹孩子高中得了什么奖,若不是,可能就进不了哈佛大学了。了解美国大学录取的人没有人会太信的。我看到过好多名校教授的孩子,凭他们高中的水平,考试成绩,竞赛得奖,和资历,如果父亲不是那儿的教授,是基本完全不可能进去的。我见过的一位斯坦福旁边的高中毕业的学生也说了,“在那个高中,基本每年都会有一个没那么强的同学被斯坦福大学录取,然后大家会得知他或她父亲是那儿的教授”。

丘成桐这么宣传反而容易误导很多年轻人,他作为一个大华人数学家应该更为自己的非常公开的言论负责任。若真的是爱国,那中国大多数年轻理工科学子的利益应该优先于极少数他的学派的中国留学生以及自己的脱离实际的大数学家虚荣心。

以“谣言”被起诉的内容在这里就有牢牢实实的证据:

 

丘对西方记者讲家人对反攻大陆的远望和信心都被采访他的 Heidelberg Laureate Forum Foundation公开在油管上了,我在一篇文章中提及无“个人主观意见”或“泄露隐私”可言,反而他自己应该为自己的公开言论负责。

从丘成桐的行为谈到为什么我不喜欢不少学术界知识分子所有的傲慢小势力态度 (academic snobbery)

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/338472318

coherence 评论了</p>

说得太好了,Yau感觉像一个撒娇的孩子。张益唐说自己长大后就连Gauss,Rieman都不觉得在数学上遥不可及,但是在人格上还崇拜Pelerman。数学家要么孤独一点,要么像张寿武一样能和各种人打交道,因为数学好整天看不起这个看不起那个多多少少有点二逼了,篮球运动员会认为其他人都是废物吗?本质上没什么不同,也不是了不起的事。

我自己也是懂不少数学和理论物理的,跟做这方面的人也有过不少接触,有的是明显有 academic snobbery 的,有的科学天分很高之外也是比较全面的正常人。不过,总之,我觉得上半世纪,学术界吸引的非常野心主义的或心胸狭窄的性格越来越多了,这个蛮可惜的,很多也因为学术界的人均资源这几十年基本一直在下降。这种趋势却加深了聪明才智高的人因为自己有能力做比较难的学科的对外优越感的现象。其实,我自己小的时候也有不少学术自恋,但现在意识到那样是没有什么意义的,或至少不讨人喜爱的。

这个世界生活艰难坎坷的人很多,大部分人根本顾不上关于一位自我陶醉的大数学家。丘成桐的数学牛逼绝大部分人没有原因care的,而且他都是个美国或香港人,国人就更没原因多么care了。所以我觉得丘成桐和给华人在硅谷搞了风投商的斯坦福教授张首晟对自己的”优越“或”特权“或”privilege”的认识还是有严重问题的。那么多struggling to get by的人看到丘成桐张首晟这样的人心理反感是很自然的。杨振宁父亲是清华大学的数学教授,从小在优越的环境长大,一生一帆风顺,对于对撞机的事儿,他认识到中国的穷人也有他们的利益,需求和感受真的是人品比丘成桐强太多了。 好多那帮美国华人教授就是非常自恋,自以为是地做一些明显政治上有问题的事情,比如普林教授李凯公开参与给中国公安部做指纹识别的公司,虽然81年去美国的他已经很不接地气了,还以为他是个美国工程院的院士就有资格评论中国的事情。同为美国工程院院士的陈刚教授因为隐藏了来自中国的科研经费都被美国捕了。像李凯张首晟这样的人就是超级的自我,国家大约80年公派他们留学,那时的社会主义中国的大学教育也都是免费的,完了他们除了来给几个演讲帮着录取几个中国研究生到美国对中国之后无谈得上正面的影响,等于是国家白投入了钱把这些成年的人才送到敌人国家去了。他们说所谓的把美国的高科技带到中国纯粹是为了他们自己的利益,同样强调美国比中国好多少也是为了维护自己的地位。可惜的是好多不懂的国家看到了他们的高大上的牌子却信了。

我最近发现微软的那帮身居高位的华人基本都做过严重的资历造假。细节写在:

李开复把在卡耐基梅隆CMU计算机系的相当于博士后的职位写成了副教授,唐骏造假了加州理工的博士,洪小文造假了高中代表台湾参加国际数学奥赛,CMU宣传陆奇的报道还称他因为近视大学无法学物理化学,体重太低无法学工程,是明显的扯淡。 那帮留美科技知识分子出了这么多身居高位的造假案或如丘成桐明显说瞎话的案例,引起不少国人强烈反感和公开批评也是理所当然的。
00年代这帮人说瞎话造假在中国很多或大多是走的通的,但随着时间而过,随着更多国人有机会去美国,了解美国,随着中国国力日益增强,国人对这些人的态度越来越反感或呵呵了。至少2020年之后,越来越多的国人认识到如施一公这样的人鼓励中美关系和好和促进中美交流本质不是因为他们自己多么爱国,而更多是为了他们自己在中国的地位和心理优越感的满足,这毕竟从他们的重要人生决定和行为是很明显的。</p>

这些人的很大的问题是善于用自己的优点比他们的竞争对手的缺点来下自己心理所欲的结论。就如有些学术界的人似乎因为自己数学好,数学就是更有价值的。好多去了美国的人因为自己为了去美国花了很多的时间和精力,就拿着美国的强点来比中国的弱点为自己和自己的选择辩护。丘成桐老批评中国出的大数学家太少,这个也客观没有错,但他有没有想中国一个起点低的发展中国家难道不应该更重视把实际的东西搞好么,鼓励更多的优秀人聪明人投入应用的方向么?

丘成桐接受一位洋人的采访的视频中还说了1949年他父亲以为KMT会成功地反攻大陆,认为去香港只会是短暂的。我看到之后就不知道为什么丘还会直接地公开地说他父亲当时的已被证明搞笑的政治和军事估计。这么说显然对他在中国只能有坏处,在美国呢,他这种早就大成名的70岁的大数学家还需要靠扯点反g来讨好洋人么?若说的负面一点,难道丘成桐没有认识到对中国和世界,把 KMT 打到台湾去比多出几个大数学家要重要得多,影响深远得多么?我想这一点同样对丘成桐有意见的身份为KMT官员出身的伯克利和普林斯顿数学教授项武义和项武忠兄弟也是会完全认可的。丘成桐的确比田刚是更好的数学家,但是因为政治原因,国家肯定得把数学老大的位置给田而非丘,在中国,他的不受欢迎的香港背景很多也只能怪他的政治军事严重误判的父亲的选择。

我比较佩服中国共产党,很多因为中国共产党吸引了不少才华横溢或绝顶聪明的人的同时,本质上也是反感学术架子或书呆子做题家的表现的,鼓励更开阔的而非教条狭隘的思维和世界观。或许我有偏见,但我觉得在科学上能力超强的人中,那些更全面的人也基本都会倾向中国共产党。中国今天能取得如此之大的成就与此也是紧密相连的。我不希望看到一些自恋不接地气的留美学者在中国为了自己的私利破坏这种优良的传统和作风。

以“谣言”被起诉的内容在这里就有牢牢实实的证据:

丘对西方记者讲家人对反攻大陆的远望和信心都被采访他的 Heidelberg Laureate Forum Foundation公开在油管上了,我在一篇文章中提及无“个人主观意见”或“泄露隐私”可言,反而他自己应该为自己的公开言论负责。